讀《數學也可以這樣學2》有感

「數學無處不在。」

 

 

這句話相信已經家喻戶曉，耳熟能詳，但有多少人曾真正感受過這句話的真諦？在現今充滿競爭氛圍的社會，數學只不過是一種獲得分數的方式。數學課堂上，傳授的內容幾乎只是有名無實的抽象概念、煩悶的計算與公式，講課也是一道題目接著一道題目的解題，只期望學生能在不同類型的考試中取得好成績。這種日以繼夜的學習模式，在無形間變成一個牢籠，困着學生的好奇心，阻擋着學生向外探索的視野，使學生彷彿變成行屍走肉，甘心情願地待在裏面，從沒想過逃出生天的那一天。事實上，若要真確地感受這句話的真諦，就必須親身踏出牢籠，觀察周邊的事物，探究當中的奧秘。

 

 

以一個常見的生物－貝殼作例子，這種生物能輕鬆地在海岸或沙灘找到。貝殼的種類繁多，形態千變萬化。當我們將貝殼從中間切割開來，可以發現這些外表美麗的「建築物」的內部結構如此複雜，近乎完美地遵循着數學法則生長。最明顯的螺旋線可是數學家的「寵兒」之一。斐波那契螺旋線，也稱「黃金螺旋」是根據斐波那數列畫出來的螺旋曲線。這是指圍繞着某個點旋轉所產生的線，其中的參數不同所產生的螺旋線的形狀也各不相同。另外，若仔細觀察，就會發現大多數貝殼都是「右旋性」（螺線由中心開始，順時鐘方向旋轉）的。只有少數是另外，而這還是個謎團。無論如何，貝殼奧秘的發現在人類的幾何學上的確是重大。上文提到斐波那契數列，這個也能在植物找到，把一根新鮮的芹菜橫切，就能發現「雙螺線」。再說一個東西，是一個身體部位－手指。沒錯，手指也有奧秘。其實手指關節的比例也與黃金比例十分相似，也是神奇。手指較大部分和整體部分的比值等於較小部分和較大部分的比值，其比值約為0.618，就是黄金比例。把一條線段分割為兩部分，較短部分和較長部分長度之比等於較長部分和整體長度之比，其值是一个無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型美麗，因此稱為黃金比例，也稱為中外比。

 

 

上面多次提到黃金比例，黃金比例，也稱為黃金數字、黃金比率或神聖比例，是兩個數字的比率，大約等於 1.618。通常寫成希臘字母 phi，它與費波那契數列密切相關，在此數列中，兩個數字相加成為其後的數字。費波那契數字為 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等等，每個數字與前一個數字的比例逐漸接近 1.618，即 phi。首次提到黃金比例是在公元前 300 年左右歐基里德所著的《幾何原本》，這是一部古希臘關於數學和幾何學的著作。歐幾里得和其他早期數學家 (例如畢達哥拉斯) 都知道這個比例，但他們沒有把它稱為黃金比例。直到很久以後，這個比例才變得神秘。1509年，意大利數學家盧卡·帕西奧利出版了《神聖比例》一書，這本書與李奧納多·達文西的插圖一起，稱讚這個比例代表了神聖的簡單和秩序。黃金比例愛好者認為黃金比例在美學上令人賞心悅目，因為它在自然界中很常見。鸚鵡螺殼和人體的比例是自然界黃金比例的範例，但這些比例往往在個體間差別很大。一些貝殼以黃金比例擴展，形成一種稱為黃金螺線的模式，但並非所有貝殼都如此。沒錯，鸚鵡螺終其一生中保持相同的貝殼比例，但它們的貝殼比例通常是等角螺線，而非表現 phi。因為帕西奧利的書和李奧納多的插圖，黃金比例在數學家中變得有名。自帕西奧利的書問世以來的幾個世紀裡，許多愛好者聲稱這個數字本質上令人賞心悅目，是美感的數學精華，而黃金分割線、黃金矩形邊長和金三角則體現在整個歷史上。

 

 

在藝術史上，一些藝術家和特意以黃金比例作為他們作品的構圖基礎。薩爾瓦多·達利，超現實主義畫家，他的畫作《最後晚餐》特意使用黃金矩形的畫布。2001 年，美國前衛金屬樂隊 Tool 發行《Lateralus》，這首歌的拍號發想自費波那契數列。最常被討論的藝術家，大概就是「達文西」了。他的畫作「蒙娜麗莎」可以在構圖裡面，發現非常多的黃金比例。而像是「最後的晚餐」，這幅畫也是在構圖上，像是物品和人物的位置，很多都位在黃金比例點上；其他還有「維特魯威人」還有「抱著銀貂的女子」，裡面人物的身形比例，也都可以看到 1.618:1 黃金比例的存在。另一個常常被討論的，也是義大利的藝術家「米開朗基羅」。他最有名的作品，就是那個上帝和亞當伸出手指相接觸的那張畫，他們手指接觸的點，就剛好是黃金比例線的交會點。米開朗基羅還有另外一個作品常常被拿來討論，就是有名的「大衛像」。這座雕像跟米羅的維納斯還有維特魯威人一樣，如果用肚臍來分上下半身，也會剛好符合黃金比例。

 

 

在建築史上，有許多古文明遺留下來的驚人建築，都可以發現黃金比例的特徵。例如著名的埃及吉薩金字塔群，就有很多黃金比例的特徵。像是最大的古夫金字塔，跟法老古夫兒子的「卡夫拉」金字塔，以及孫子「孟卡拉」的金字塔，他們三個的相對位置就都在「黃金矩形」的頂點上面。而在吉薩金字塔群旁邊的「人面獅身像」，也可以發現從頭到腳的長度，跟手肘到腳長度，也是 1.618:1 的黃金比例。而在古希臘，也有不少應用黃金比例的例子。例如供奉雅典娜女神的「帕德嫩神廟」，就被視為「運用黃金比例的經典建築」。雖然這座神廟遺跡的屋頂缺損很多，但還是可以算出屋頂頂點的高度，那把它還原之後，就可以看出他的寬和高符合黃金舉行的比例，而且也可以發現，柱子上方屋簷部分的裝飾，彼此之間也是符合黃金比例的排列。此外，古希臘時期完成的「米羅的維納斯」雕像，如果我們從雕像肚臍的位置來做分隔的話，我們也可以看到上下半身長度比，剛好就是 1:1.618。

 

 

再以一個常見的東西做例子－植物。在植物界中通常見到以「旋轉對稱」 形式生長的葉子、根莖和花瓣，例如多肉植物和玫瑰花等。對稱是幾何圖形的特徵，按照一般的左右對稱來說，物體或圖形的一半即其另一半的鏡像。當一個平面圖形上沿著一條直線 (軸) 摺疊，直線兩側部份能夠互相重合的稱「反射對稱」或「軸對稱」，對稱軸可以是單一或者多重不等。若平面圖形以某一點為圓心 (對稱點)，繞著它旋轉180°之後，與原有的圖形完全重合，稱「旋轉對稱」或「點對稱」。若兩個物體稱為互相對稱時，即表示其中一者的形狀經幾何分割後，在不變更整體形狀的情況下，可以將分割片段重組為另一者，且反之亦然。

 

 

對稱性已被用作一個正式的形式典範，許多作曲家如史蒂夫帝國，巴爾托克，詹姆斯坦尼所使用的拱橋形式（ ABCBA ） 。在古典音樂，巴赫使用了對稱的概念，置換上下聲部，倒轉卡農曲。音高結構編輯，上行音階與下行音階就是最簡單的對稱結構；等價編輯，音列的逆行，屬於橫向對稱；音類集和弦的轉位，屬於垂直對稱。對稱的觀念被應用在所有有關形狀及大小的物件之設計上，在珠飾、家具、沙畫、編織、面具及樂器等設計上都可以找到有關對稱的觀念存在着。悠久的傳統使用的地毯對稱格局涵蓋了各種文化。美國的納瓦霍印第安人使用的大膽對角線和矩形圖案。許多東方地毯已錯綜複雜的反映中心和邊界，把一種模式。不足為奇的最地毯使用四邊形對稱－一個主題反映了各地的橫向和縱向軸線。另外，古代中國使用的對稱格局的青銅鑄件自公元前17世紀青銅器展出雙邊主序和重複翻譯界的設計。波斯陶器歷史可以追溯到公元前6000採用對稱的曲折，立方體，和跨畫剖面線。

 

 

從上面兩個例子中，不難發現細微的觀察能從中探討中看似艱深的數學理論或知識，但無數的例子還是比不過親身嘗試觀察，打破牢籠。只要保持好奇心，便能真確地感受到：

 

 

「數學無處不在。」